Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой [math]\displaystyle{ p }[/math]-й степенью.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math] — пространство с мерой, и функции [math]\displaystyle{ f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \int\limits_X |f|^p\, d\mu \lt \infty,\; \int\limits_X |g|^p\, d\mu \lt \infty }[/math], где [math]\displaystyle{ p \ge 1 }[/math], и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда [math]\displaystyle{ f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu) }[/math], и более того:

[math]\displaystyle{ \left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} . }[/math]

Доказательство

Сначала докажем, что

[math]\displaystyle{ f,g \in L^{p} (E) \Rightarrow |f+g|^{p} }[/math] суммируема на [math]\displaystyle{ E }[/math].

Введём множества: [math]\displaystyle{ E_1=E[|f| \geq |g|] \quad E_2=E[|f| \lt |g|] }[/math].

[math]\displaystyle{ \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_1} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu . }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq \int\limits_{E_2} (|f|+|g|)^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu . }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_{E_1} |f+g|^{p}d \mu + \int\limits_{E_2} |f+g|^{p}d \mu \leq 2^{p} \int\limits_{E_1} |f|^{p}d \mu + 2^{p} \int\limits_{E_2} |g|^{p}d \mu \lt \infty . }[/math]

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

[math]\displaystyle{ \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu = \int\limits_E |f+g||f+g|^{p-1}d \mu \leq \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu+ \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu ; }[/math]

[math]\displaystyle{ |f| \in L^{p}, |f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q} \in L^{q} \Rightarrow }[/math] можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

[math]\displaystyle{ \int\limits_E |f||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} , }[/math]
[math]\displaystyle{ \int\limits_E |g||f+g|^{p-1}d \mu \leq (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{(p-1)q}d \mu)^{1/q} = (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} . }[/math]

Таким образом:

[math]\displaystyle{ \int\limits_E |f+g|^{p}d \mu \leq (\int\limits_E |f|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} + (\int\limits_E |g|^{p}d \mu)^{1/p}(\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} . }[/math]

Делим левую и правую части на [math]\displaystyle{ (\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} }[/math].

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда [math]\displaystyle{ (\int\limits_E |f+g|^{p}d \mu)^{1-1/p} = 0 }[/math] неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве [math]\displaystyle{ L^p(X,\mathcal{F},\mu) }[/math] можно ввести норму:

[math]\displaystyle{ \|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p} , }[/math]

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство [math]\displaystyle{ E = \mathbb{R}^n }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]. [math]\displaystyle{ L^p }[/math]-норма в этом пространстве имеет вид:

[math]\displaystyle{ \| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top} , }[/math]

и тогда

[math]\displaystyle{ \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E . }[/math]

Если [math]\displaystyle{ n = 2,3 }[/math] и [math]\displaystyle{ p = 2 }[/math], то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть [math]\displaystyle{ X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m }[/math] — счётная мера на [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. Тогда множество всех последовательностей [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math], таких что

[math]\displaystyle{ \|x\|_p = (\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p)^{1/p} \lt \infty , }[/math]

называется [math]\displaystyle{ l^p }[/math]. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

[math]\displaystyle{ \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p . }[/math]

Вероятностное пространство

Пусть [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] — вероятностное пространство. Тогда [math]\displaystyle{ L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] состоит из случайных величин с конечным [math]\displaystyle{ p }[/math]-м моментом: [math]\displaystyle{ \mathbb{E}\left[|X|^p\right] \lt \infty }[/math], где символ [math]\displaystyle{ \mathbb{E} }[/math] обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

[math]\displaystyle{ \left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p} . }[/math]

Литература

Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.

См. также